Lösung zur Wiederholungsübung: Wahrscheinlichkeitsdichten 2
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
$$ p(x) = \tfrac{1}{10000}\cdot\left( -\text{0,75} x^3 - \text{7,5} x^2 + 75 x + 750 \right)$$für alle $x$ im Intervall $[-10;10]$.
a) Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten muss die Dichte integriert werden:
$$\begin{eqnarray*} P(X\ge 1) & =& \int_1^{10}\ p(x)\ dx \\ \\ & =& \tfrac{1}{10000} \int_1^{10}\ -\text{0,75} x^3 - \text{7,5} x^2 + 75 x + 750 \ dx \\ \\ & =& \tfrac{1}{10000} \left[\ -\tfrac{\text{0,75}}{4} x^4 - \tfrac{\text{7,5}}{3} x^3 + \tfrac{75}{2} x^2 + 750x \ \right]_1^{10} \\ \\ &= & \tfrac{1}{10000}\cdot \left( 6875 - \text{784,8125} \right) \\ \\ &\approx & \text{0,6090} \end{eqnarray*}$$Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher ca. 61%.
Anmerkung: Im Notfall lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch aus einem Funktionsgraphen schätzen, für den Sie aber natürlich zunächst eine Wertetabelle erstellen müssen:
| $x$ | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $p(x)$ | 0 | 0,001 | 0,005 | 0,011 | 0,019 | 0,028 | 0,038 | 0,048 | 0,058 | 0,067 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,075 | 0,082 | 0,086 | 0,089 | 0,088 | 0,084 | 0,077 | 0,065 | 0,049 | 0,027 | 0 |
Da Wahrscheinlichkeitsdichten stets oberhalb der $x$-Achse verlaufen, enstpricht das Integral der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse. Durch Nachzählen der Kästchen erhält man, dass ca. 60% der Gesamtfläche zwischen den $x$-Werten 1 und 10 liegt.
b) Die Formel für den Erwartungswert $E$ wird in der Prüfung gegeben sein. Beachten Sie aber, dass für den Erwartungswert über den gesamten Definitionsbereich integriert und die Stammfunktion neu gebildet werden muss:
$$\begin{eqnarray*} E & =& \int_{-10}^{10}\ x\cdot p(x)\ dx \\ \\ & =& \tfrac{1}{10000} \int_{-10}^{10}\ -\text{0,75} x^4 - \text{7,5} x^3 + 75 x^2 + 750 x \ dx \\ \\ & =& \tfrac{1}{10000} \left[\ -\tfrac{\text{0,75}}{5} x^5 - \tfrac{\text{7,5}}{4} x^4 + \tfrac{75}{3} x^3 + \tfrac{750}{2} x^2 \ \right]_{-10}^{10} \\ \\ &= & \tfrac{1}{10000} \cdot \left( 28750 - 8750 \right) \\ \\ &= & 2 \end{eqnarray*}$$Die mittlere Tonwertzunahme beträgt daher 2. (Beachten Sie, dass der Erwartungswert keine Wahrscheinlichkeit ist!)
Anmerkung: Auch der Erwartungswert $E$ lässt sich im Notfall näherungsweise schätzen. Ist nämlich obige Wertetabelle (in Einserschritten!) gegeben, so können wir den Mittelwert wie beim Notenspiegel einer Klassenarbeit bilden:
$$ E \;\approx\; -10\cdot 0\ +\ (-9)\cdot \text{0,001}\ +\ (-8)\cdot\text{0,005}\ +\ ...\ +\ 9\cdot\text{0,027}\ +\ 10\cdot 0 \;=\; \text{1,986}$$Beachte: Während beim Notenspiegel noch durch die Gesamtzahl der Klassenarbeiten geteilt werden muss, ist dies hier nicht nötig, da die Wahrscheinlichkeitsdichte $p(x)$ in ihrem Definitionsbereich bereits auf 100% Gesamtwahrscheinlichkeit normiert ist.
c) Für die Varianz $\sigma^2$ benötigen wir das folgende Integral (auch als "2. Moment" bezeichnet, da $p(x)$ nun mit $x^2$ multipliziert wird):
$$\begin{eqnarray*} \int_{-10}^{10}\ x^2\cdot p(x)\ dx & \;=\;& \tfrac{1}{10000} \int_{-10}^{10}\ -\text{0,75} x^5 - \text{7,5} x^4 + 75 x^3 + 750 x^2 \ dx \\ \\ & =& \tfrac{1}{10000} \left[\ -\tfrac{\text{0,75}}{6} x^6 - \tfrac{\text{7,5}}{5} x^5 + \tfrac{75}{4} x^4 + \tfrac{750}{3} x^3 \ \right]_{-10}^{10} \\ \\ &= & \tfrac{1}{10000} \cdot \left( 162500 - (-37500) \right) \\ \\ &= & 20 \end{eqnarray*}$$Damit erhält man die Varianz $$ \sigma^2 = 20 - E^2 = 20 -4 = 16 $$ sowie die Standardabweichung $$ \sigma = \sqrt{16} = 4\ .$$
d) Hier geht es nun darum, die stochastischen Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung in den fachlichen Kontext einzuordnen. Dazu können wir auf alle vorhergehenden Aufgabenteile Bezug nehmen.
Aus a) wissen wir, dass mehr als 60% der Tonwertschwankungen größer als 1 sind, d. h. es treten tatsächlich überwiegend Tonwertzunahmen auf. Dies wird auch durch b) bestätigt, da der Erwartungswert (also der "Mittelwert" aller Tonwertschwankungen) positiv ist.
Die Standardabweichung aus c) legt allerdings nahe, dass regelmäßig auch Tonwertabnahmen auftreten, da die Tonwertschwankungen um durchschnittlich 4 Einheiten um den Erwartungswert $E=2$ streuen, also im Bereich von $-2$ bis $6$.
Anmerkung: Der Begriff "Standardabweichung" bedeutet, dass es in einigen wenigen Rasterzellen sogar zu noch größeren Tonwertschwankungen kommen kann, diese aber für das Druckergebnis keine wesentliche Rolle spielen.